Church-Turingin teesi on laskennan ja laskennan monimutkaisuuden teorian perusperiaate. Se esittää, että mikä tahansa funktio, joka voidaan laskea algoritmilla, voidaan laskea myös Turingin koneella.
Tämä väitöskirja ei ole muodollinen lause, joka voidaan todistaa; pikemminkin se on hypoteesi laskettavien funktioiden luonteesta. Se viittaa siihen, että "algoritmisen laskettavuuden" käsite on riittävästi vangittu Turingin koneilla.
Turingin kone on abstrakti matemaattinen laskentamalli, joka määrittelee idealisoidun koneen, joka pystyy suorittamaan minkä tahansa algoritmisesti määriteltävän laskutoimituksen. Se koostuu soluihin jaetusta äärettömästä nauhasta, nauhapäästä, joka pystyy lukemaan ja kirjoittamaan nauhalle symboleja, sekä äärellisestä joukosta tiloja, jotka määrittävät koneen toiminnot nykyisen tilan ja luettavan symbolin perusteella. Kone toimii sääntöjen tai siirtymätoiminnon mukaan, joka määrää, kuinka se liikkuu tilojen välillä, lukee ja kirjoittaa symboleja sekä liikuttaa nauhapäätä.
Church-Turingin teesi väittää, että jos ongelma voidaan ratkaista millä tahansa laskennallisella tavalla, on olemassa Turingin kone, joka voi ratkaista tämän ongelman. Tällä opinnäytetyöllä on syvällisiä vaikutuksia tietojenkäsittelytieteen alaan, koska se tarjoaa muodollisen viitekehyksen laskennan rajojen ymmärtämiselle.
Käsitteen havainnollistamiseksi harkitse ongelmaa sen määrittämisessä, onko tietty merkkijono palindromi. Palindromi on merkkijono, joka lukee samaa eteen- ja taaksepäin. Tämän ongelman ratkaisevassa algoritmissa voidaan verrata merkkijonon ensimmäistä ja viimeistä merkkiä, sitten toista ja toiseksi viimeistä merkkiä ja niin edelleen, kunnes kaikkia merkkejä on verrattu. Jos kaikki vastaavat merkit täsmäävät, merkkijono on palindromi; muuten ei ole.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi voidaan rakentaa Turingin kone. Kone aloitti lukemalla merkkijonon ensimmäisen merkin ja merkitsemällä sen jollain tavalla (esim. kirjoittamalla erikoissymbolin sen päälle). Sitten se siirtyisi merkkijonon loppuun, lukisi viimeisen merkin ja vertaisi sitä ensimmäiseen merkkiin. Jos ne täsmäävät, kone merkitsee viimeisen merkin ja siirtyy takaisin seuraavaan merkitsemättömään merkkiin alusta toistaen prosessia, kunnes kaikki merkit on verrattu. Jos jossain vaiheessa merkit eivät täsmää, kone pysähtyy ja hylkää syötteen. Jos kaikki merkit täsmäävät, kone pysähtyy ja hyväksyy syötteen.
Tämä esimerkki osoittaa, kuinka algoritmisesti kuvattava ongelma voidaan ratkaista myös Church-Turingin teesiä tukevalla Turingin koneella. Väitöskirjan mukaan mikä tahansa laskennallinen ongelma, joka voidaan ratkaista algoritmilla, voidaan periaatteessa ratkaista Turingin koneella.
Kyberturvallisuuden ja laskennallisen monimutkaisuuden teorian kontekstissa Church-Turingin opinnäytetyöllä on merkittäviä vaikutuksia laskettavien rajojen ja laskemiseen tarvittavien resurssien ymmärtämiseen. Laskennallinen monimutkaisuusteoria käsittelee laskennallisten ongelmien luokittelua niiden luontaisen vaikeuden ja niiden ratkaisemiseen tarvittavien resurssien (kuten aika ja tila) perusteella. Opinnäytetyö luo pohjan tälle luokittelulle luomalla yhteiset puitteet eri laskentamallien laskentatehojen määrittelylle ja vertailulle.
Yksi tärkeä käsite laskennallisen monimutkaisuuden teoriassa on ero ratkeavien ja ratkaisemattomien ongelmien välillä. Ongelma on ratkaistava, jos on olemassa Turingin kone, joka pystyy ratkaisemaan sen kaikille mahdollisille syötteille rajallisessa ajassa. Toisaalta ratkaisematon ongelma on sellainen, jolle ei ole olemassa sellaista Turingin konetta. Pysäytysongelma, joka kysyy, pysähtyykö tietty Turingin kone tietyllä syötteellä, on klassinen esimerkki ratkaisemattomasta ongelmasta. Alan Turing osoitti, että ei ole olemassa yleistä algoritmia, joka voisi ratkaista pysäytysongelman kaikille mahdollisille Turingin koneille ja syötteille, mikä osoitti luontaisesti laskemattomien ongelmien olemassaolon.
Church-Turingin opinnäytetyö liittyy myös rekursion käsitteeseen, joka on tietojenkäsittelytieteen ja matematiikan perustekniikka funktioiden määrittelyssä ja ongelmien ratkaisemisessa. Rekursiiviset funktiot ovat funktioita, jotka määritellään itsestään, ja joissa on usein perustapaus rekursion lopettamiseksi. Primitiivisten rekursiivisten funktioiden luokka, jotka määritellään perusfunktioilla ja koostumuksella ja primitiivisellä rekursiolla, on yleisten rekursiivisten funktioiden luokan osajoukko, joka sisältää kaikki Turingin koneella laskettavat funktiot.
Itsestään kuvauksen kirjoittava Turingin kone on esimerkki itseviittaus- tai itsereplikoituvasta järjestelmästä, joka liittyy rekursion käsitteeseen. Tällainen kone, jota usein kutsutaan quineksi, on ohjelma, joka tuottaa kopion omasta lähdekoodistaan. Quines ovat mielenkiintoisia teoreettisesta näkökulmasta, koska ne osoittavat Turingin koneen kyvyn suorittaa itseviittauslaskelmia, joilla voi olla vaikutuksia laskennan rajojen ja itsereplikoituvien järjestelmien luonteen ymmärtämiseen.
Church-Turingin opinnäytetyö tarjoaa perustan algoritmisen laskettavuuden luonteen ja laskennan rajojen ymmärtämiselle. Se väittää, että mikä tahansa ongelma, joka voidaan ratkaista algoritmilla, voidaan ratkaista myös Turingin koneella, mikä muodostaa yhteisen viitekehyksen eri laskentamallien vertailulle. Opinnäytetyöllä on syvällisiä vaikutuksia laskennallisen monimutkaisuuden teorian alaan, sillä se tarjoaa perustan laskennallisten ongelmien luokittelulle ja niiden ratkaisemiseen tarvittavien resurssien ymmärtämiselle. Itsestään kuvauksen kirjoittavan Turingin koneen käsite kuvaa itseviittauslaskennan tehoa ja Turingin koneiden kykyä suorittaa monimutkaisia, rekursiivisia laskutoimituksia.
Muita viimeaikaisia kysymyksiä ja vastauksia liittyen EITC/IS/CCTF:n laskennallisen monimutkaisuuden teorian perusteet:
- Kun otetaan huomioon PDA, joka osaa lukea palindromeja, voisitko kertoa pinon kehityksestä, kun syöte on ensinnäkin palindromi ja toiseksi ei palindromi?
- Ei-deterministiset PDA:t huomioon ottaen tilojen superpositio on määritelmän mukaan mahdollista. Ei-deterministisillä PDA-laitteilla on kuitenkin vain yksi pino, joka ei voi olla useassa tilassa samanaikaisesti. Miten tämä on mahdollista?
- Mikä on esimerkki PDA-laitteista, joita käytetään verkkoliikenteen analysointiin ja mahdollisiin tietoturvaloukkauksiin viittaavien mallien tunnistamiseen?
- Mitä tarkoittaa, että yksi kieli on voimakkaampi kuin toinen?
- Tunnistaako Turingin kone kontekstiherkät kielet?
- Miksi kieli U = 0^n1^n (n>=0) on epäsäännöllinen?
- Kuinka määritellä FSM, joka tunnistaa binäärimerkkijonoja, joissa on parillinen määrä '1'-symboleja, ja näyttää, mitä sille tapahtuu, kun käsitellään syötemerkkijonoa 1011?
- Miten epädeterminismi vaikuttaa siirtymätoimintoon?
- Ovatko tavalliset kielet vastaavia Finite State Machines -koneen kanssa?
- Eikö PSPACE-luokka ole sama kuin EXPSPACE-luokka?