Kysymys siitä, onko P yhtä kuin NP, on yksi tietojenkäsittelytieteen ja matematiikan syvimmistä ja ratkaisemattomista ongelmista. Tämä ongelma on laskennallisen monimutkaisuusteorian ytimessä, alan, joka tutkii laskennallisten ongelmien luontaista vaikeutta ja luokittelee ne niiden ratkaisemiseen tarvittavien resurssien mukaan.
Kysymyksen ymmärtämiseksi on välttämätöntä ymmärtää luokkien P ja NP määritelmät. Luokka P koostuu päätösongelmista (kyllä/ei-vastausongelmista), jotka voidaan ratkaista deterministisellä Turingin koneella polynomiajassa. Polynomiaika tarkoittaa, että ongelman ratkaisemiseen tarvittava aika voidaan ilmaista syötteen koon polynomifunktiona. Esimerkkejä P:n ongelmista ovat lukulistan lajittelu (joka voidaan tehdä O(n log n) ajassa käyttämällä tehokkaita algoritmeja, kuten mergesort) ja kahden kokonaisluvun suurimman yhteisen jakajan löytäminen käyttämällä euklidelaista algoritmia (joka suoritetaan O(log) (min(a, b))) aika).
Luokka NP puolestaan koostuu päätösongelmista, joille annettu ratkaisu voidaan todentaa polynomiajassa deterministisellä Turingin koneella. Tämä tarkoittaa, että jos joku tarjoaa ehdokkaan ratkaisun ongelmaan, sen oikeellisuus voidaan tarkistaa tehokkaasti. Tärkeää on, että NP ei välttämättä tarkoita, että itse ongelma voidaan ratkaista polynomiajassa, vain sitä, että ehdotettu ratkaisu voidaan varmistaa nopeasti. Esimerkkejä NP:n ongelmista ovat Boolen tyydyttävyysongelma (SAT), jossa pyritään määrittämään, onko muuttujille olemassa totuusarvojen määritys, joka tekee tietyn Boolen kaavan tosi, ja Hamiltonin sykliongelma, joka kysyy, onko olemassa sykliä. joka vierailee graafin jokaisessa kärjessä täsmälleen kerran.
P vs NP -kysymys kysyy, voidaanko jokainen ongelma, jonka ratkaisu voidaan varmistaa polynomiajassa (eli jokainen tehtävä NP:ssä), ratkaista myös polynomiajassa (eli on P:ssä). Muodollisesti kysymys on siitä, onko P = NP. Jos P olisi yhtä suuri kuin NP, se merkitsisi, että jokainen ongelma, jonka ratkaisu voidaan nopeasti todentaa, voitaisiin myös ratkaista nopeasti. Tällä olisi syvällisiä seurauksia sellaisille aloille kuin kryptografia, optimointi ja tekoäly, koska monet tällä hetkellä vaikeasti ratkaistavissa olevat ongelmat voisivat mahdollisesti tulla tehokkaasti ratkaistaviksi.
Vuosikymmenten tutkimuksesta huolimatta P vs NP -kysymys on edelleen avoin. Kukaan ei ole vielä pystynyt todistamaan joko P = NP tai P ≠ NP. Tämän ongelman vaikeutta korostaa se, että se sisällytettiin yhdeksi Clay Mathematics Instituten seitsemästä "Millennium Prize -tehtävästä", ja oikean ratkaisun palkinto on miljoona dollaria. Ratkaisun puute on johtanut merkittävään kehitykseen sekä teoreettisessa että soveltavassa tietojenkäsittelytieteessä.
Yksi P vs NP -kysymykseen liittyvistä avainkäsitteistä on NP-täydellisyys. Ongelma on NP-täydellinen, jos se on NP:ssä ja yhtä vaikea kuin mikä tahansa ongelma NP:ssä, siinä mielessä, että mikä tahansa NP-tehtävä voidaan pelkistää siihen käyttämällä polynomiaikaista pelkistystä. NP-täydellisyyden käsitteen esitteli Stephen Cook vuonna 1971 valmistuneessa artikkelissaan, jossa hän osoitti, että SAT-ongelma on NP-täydellinen. Tämä Cookin lauseena tunnettu tulos oli uraauurtava, koska se tarjosi konkreettisen esimerkin NP-täydellisestä ongelmasta ja loi puitteet muiden NP-täydellisten ongelmien tunnistamiselle.
Sen jälkeen monet muut ongelmat on osoitettu olevan NP-täydellisiä, kuten matkustava myyjä-ongelma, klikki-ongelma ja reppu-ongelma. NP-täydellisyyden merkitys on siinä, että jos mikä tahansa NP-täydellinen tehtävä voidaan ratkaista polynomiajassa, niin jokainen NP:n tehtävä voidaan ratkaista polynomiajassa, mikä tarkoittaa, että P = NP. Kääntäen, jos mitä tahansa NP-täydellistä ongelmaa ei voida ratkaista polynomiajassa, niin P ≠ NP.
NP-täydellisyyden käsitteen havainnollistamiseksi harkitse matkustavan myyjän ongelmaa (TSP). Tässä tehtävässä myyjän on vierailtava joukossa kaupunkeja, kukin tasan kerran, ja palattava lähtökaupunkiin tavoitteenaan minimoida kokonaismatka. TSP:n päätösversio kysyy, onko olemassa kiertomatkaa kaupungeista, joiden kokonaisetäisyys on pienempi tai yhtä suuri kuin annettu arvo. Tämä ongelma on NP:ssä, koska ehdotetun kierroksen perusteella voidaan helposti tarkistaa polynomiajassa, täyttääkö kiertomatka etäisyysrajoituksen. Lisäksi TSP on NP-täydellinen, koska mikä tahansa ongelma NP:ssä voidaan muuntaa TSP:n ilmentymäksi polynomiajassa.
Toinen esimerkki on klikkiongelma, joka kysyy, sisältääkö tietty graafi tietyn kokoisen täydellisen aligraafin (klikin). Tämä ongelma on NP:ssä, koska jos ehdokasklikki on annettu, voidaan polynomiajassa varmistaa, onko se todellakin vaaditun kokoinen klikki. Klikkiongelma on myös NP-täydellinen, mikä tarkoittaa, että sen tehokas ratkaiseminen merkitsisi sitä, että kaikki NP-ongelmat voidaan ratkaista tehokkaasti.
P vs NP ja NP-täydellisyyden tutkimus on johtanut erilaisten tekniikoiden ja työkalujen kehittämiseen teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä. Yksi tällainen tekniikka on polynomi-aikavähennysten käsite, jota käytetään osoittamaan, että yksi ongelma on vähintään yhtä vaikea kuin toinen. Polynomiaikainen pelkistys tehtävästä A tehtävään B on muunnos, joka muuntaa A:n esiintymät B:n ilmentymäksi polynomiajassa siten, että B:n muunnetun ilmentymän ratkaisua voidaan käyttää A:n alkuperäisen ilmentymän ratkaisemiseen. A voidaan pelkistää tehtäväksi B polynomiajassa ja B voidaan ratkaista polynomiajassa, niin A voidaan ratkaista myös polynomiajassa.
Toinen tärkeä käsite on approksimaatioalgoritmien käsite, jotka tarjoavat lähes optimaalisia ratkaisuja NP-koviin ongelmiin (ongelmiin, jotka ovat vähintään yhtä vaikeita kuin NP-täydet tehtävät) polynomiajassa. Vaikka nämä algoritmit eivät välttämättä löydä tarkkaa optimaalista ratkaisua, ne tarjoavat käytännöllisen lähestymistavan vaikeiden ongelmien ratkaisemiseen tarjoamalla ratkaisuja, jotka ovat lähellä parasta mahdollista. Esimerkiksi matkustava myyjä -ongelmalla on hyvin tunnettu approksimaatioalgoritmi, joka takaa kierroksen kertoimella 1.5 metrisen TSP:n optimaalisesta kiertueesta (jos etäisyydet täyttävät kolmion epätasa-arvon).
P vs NP -kysymyksen ratkaisemisen vaikutukset ulottuvat teoreettisen tietojenkäsittelytieteen ulkopuolelle. Salaustekniikassa monet salausmenetelmät perustuvat tiettyjen ongelmien kovuuteen, kuten kokonaislukukerroin ja diskreetit logaritmit, joiden uskotaan olevan NP:ssä mutta ei P:ssä. Jos P olisi yhtä suuri kuin NP, nämä ongelmat voitaisiin mahdollisesti ratkaista tehokkaasti, mikä vaarantaisi. salausjärjestelmien turvallisuus. Toisaalta P ≠ NP:n todistaminen antaisi vahvemman perustan tällaisten järjestelmien turvallisuudelle.
Optimoinnissa monet todelliset ongelmat, kuten ajoitus, reititys ja resurssien allokointi, mallinnetaan NP-kovina ongelmina. Jos P olisi yhtä suuri kuin NP, se tarkoittaisi, että tehokkaita algoritmeja voitaisiin kehittää ratkaisemaan nämä ongelmat optimaalisesti, mikä johtaisi merkittäviin edistysaskeleihin eri toimialoilla. Kuitenkin nykyinen oletus, että P ≠ NP, on johtanut heurististen ja approksimaatioalgoritmien kehittämiseen, jotka tarjoavat käytännön ratkaisuja näihin ongelmiin.
P vs NP -kysymyksellä on myös filosofisia vaikutuksia, koska se koskettaa matemaattisen totuuden luonnetta ja ihmistiedon rajoja. Jos P olisi yhtä suuri kuin NP, se merkitsisi, että jokainen matemaattinen lause, jossa on lyhyt todiste, voitaisiin löytää tehokkaasti, mikä mahdollisesti mullistaisi matemaattisen löydön prosessin. Toisaalta, jos P ≠ NP, se viittaa siihen, että tehokkaalla laskennalla ja todentamisella on luontaiset rajat, mikä korostaa matemaattisten rakenteiden monimutkaisuutta ja rikkautta.
Huolimatta lopullisen vastauksen puuttumisesta P vs NP -kysymykseen, sitä ympäröivä tutkimus on johtanut syvempään ymmärrykseen laskennallisesta monimutkaisuudesta ja lukuisten tekniikoiden ja työkalujen kehityksestä, joilla on ollut syvällinen vaikutus tietojenkäsittelytieteeseen. Pyrkimys ratkaista tämä kysymys innostaa ja haastaa edelleen tutkijoita, mikä edistää alan kehitystä ja laajentaa ymmärrystämme laskennan perusrajoista.
Muita viimeaikaisia kysymyksiä ja vastauksia liittyen Monimutkaisuus:
- Eikö PSPACE-luokka ole sama kuin EXPSPACE-luokka?
- Onko P monimutkaisuusluokka PSPACE-luokan osajoukko?
- Voimmeko todistaa, että Np- ja P-luokka ovat samat, etsimällä tehokas polynomiratkaisu mille tahansa NP-täydelliselle ongelmalle deterministisellä TM:llä?
- Voiko NP-luokka olla yhtä suuri kuin EXPTIME-luokka?
- Onko PSPACEssa ongelmia, joille ei ole tunnettua NP-algoritmia?
- Voiko SAT-ongelma olla täydellinen NP-ongelma?
- Voiko ongelma olla NP-kompleksisuusluokassa, jos on olemassa epädeterministinen turing-kone, joka ratkaisee sen polynomiajassa
- NP on kielten luokka, joilla on polynomiaikaiset varmentajat
- Onko jokainen kontekstivapaa kieli P-kompleksisuusluokassa?
- Onko NP:n määritelmä polynomiaikaisten todentajien päätösongelmien luokkana ja sen välillä, että luokan P ongelmissa on myös polynomiaikaisia todentajia?
Katso lisää kysymyksiä ja vastauksia Complexityssä